Deník N

Pistole za úsvitu: jak vznikla moderní algebra

Obřadné šílenství, oblíbené ještě v devatenáctém století: souboj na pistole. Obrázek: Wikimedia Commons, public domain, autor neznámý
Obřadné šílenství, oblíbené ještě v devatenáctém století: souboj na pistole. Obrázek: Wikimedia Commons, public domain, autor neznámý

Matematici jsou také lidé. Chybující, vášniví, dojemní, romantičtí a ztracení – někdy. Évariste Galois byl tím vším. Kromě toho otevřel dveře celého nového světa a pak zemřel nesmyslně mlád.

Minus bé plus minus odmocnina z bé na druhou minus čtyři á cé, to celé lomeno dvěma á. Pamatujete? Mělo by vám to naskočit stejně jako „Byl pozdní večer, první máj…“, znáte to ze stejné doby a ze stejného důvodu: potřebovali jste to k maturitě. Snad si i vzpomenete, co to je za vzoreček. Počítají se jím kořeny kvadratické rovnice.

Pokud nejste inženýři nebo přímo matematici, pak jste ho nejspíš nikdy mimo školu nepoužili. To vypadá jako dobrý argument pro změnu osnov. Nebo ne?

Kvadratické rovnice – tedy takové, kde se vyskytuje neznámá v druhé mocnině – znali a řešili už Babylóňané. Vedly je k tomu praktické geometrické úlohy. Citovaný vzorec v jeho dnešní podobě je poprvé doložen v indickém rukopisu ze sedmého století.

Když je neznámá v třetí mocnině, mluví se o kubické polynomiální rovnici, následuje kvartická, kvintická… S těmi je potíž.

Cesta slepou uličkou

Rovnici třetího a čtvrtého stupně zdolali italští renesanční matematici. O autorství se hádali tak, že dodnes není úplně jasno. Vzorce pro třetí a čtvrtý stupeň jsou mnohem komplikovanější než pro druhý, však se také naštěstí ve škole neučí. Mají však důležitou společnou vlastnost s naším známým vztahem pro kvadratickou rovnici: neobsahují žádné jiné operace než běžnou aritmetiku – sčítání, odčítání, násobení a dělení – plus k tomu mocniny a odmocniny.

Vymyslet vzorce řešící rovnici třetího a čtvrtého stupně vyžadovalo spoustu triků, matematické ekvilibristiky. Mimochodem, byla to doba, kdy byla matematika tak populární, že se v ní pořádaly veřejné soutěže, jež přitahovaly diváky a ceny do nich věnovali různí vládci. Ceny máme tu a tam dodnes, ale o popularitě diváckého sportu si mohou dnešní matematici nechat leda zdát.

Rovnice obsahující pátou mocninu kladla odpor po celá další staletí. Neúspěšně se o ni pokoušeli amatéři, solidní vědci i superhvězdy oboru jako Euler či Lagrange. Pak se na scéně objevil muž pokládaný dodnes celkem konsensuálně za největšího matematika všech dob – Johann Carl Fridrich Gauss. Roku 1799 formuloval a o několik let později dokázal tzv. základní větu algebry: každá rovnice n-tého stupně má přesně n řešení, kterými mohou být reálná nebo komplexní čísla.

Gaussův důkaz měl kupodivu mezery, které definitivně odstranil až Jean-Robert Argand, pařížský knihkupec. To je pěkná historka, která svědčí jednak o Gaussově neochotě starat se o detaily, jednak o tom, kam mohl v matematice ještě počátkem 19. století dosáhnout talentovaný amatér. Ty časy jsou pryč.

Nebylo tedy pochyb, že každá rovnice pátého stupně musí mít pět kořenů. Z problému se nedalo vylhat tím, že ty kořeny třeba nemusí existovat. Nikdo je ale neuměl vypočítat, pokud nešlo o nějaký snadný speciální případ jako x⁵ – 1 = 0. Když víte, že něco existovat musí, a přitom to neumíte najít, je to poněkud frustrující.

Ve skutečnosti umíme řešit i některé složitější kvintické rovnice. Leonhard Euler našel vzorce pro několik speciálních případů.

Nesmíme si ale myslet, že problémem pátého stupně (a vyšších, samozřejmě) byli matematici na přelomu 18. a 19. století vysloveně posedlí. K dispozici měli mnoho jiných, zajímavějších otázek, například v komplexní analýze. Vzorec pro pátý stupeň až příliš připomínal renesanční cirkusová vystoupení matematiků na šlechtických dvorech. Kromě toho, což je důležité, úloha neměla praktický význam: pokud někdo potřeboval číselnou hodnotu kořenů kvintické rovnice (a problémů z reálného života, například z fyziky, jež by k takové rovnici vedly, skutečně není mnoho), pak si je poměrně jednoduše vypočetl metodou postupného zpřesňování odhadu, kterou vymysleli Arabové už někdy v desátém století a kterou od té doby občas někdo vylepšil, aby konvergovala rychleji.

Gauss v jedné své práci poznamenal víceméně na okraj, že rovnice vyšších stupňů se nejspíš algebraicky řešit nedají a že „nebude tak obtížné“ to dokázat. Což mu stačilo, sám se s takovým důkazem nenamáhal.

Rozervaná duše

Prví polovina jeho tvrzení je pravdivá: řešit se skutečně nedají. Zda důkaz „nebyl tak obtížný“, to je jiná otázka. Jisté je, že byl mimořádně důležitý a že změnil matematiku navždy, což Gauss rozhodně nedocenil, jinak by se tou cestou téměř určitě pustil sám. Jisté taky je, že se k tomu důkazu váže asi nejdojemnější a nejčastěji citovaná epizoda dějin matematiky. Takže se připravte, oko v sále nezůstane suché.

Mladý Francouz Évariste Galois se roku 1832 nechal zatáhnout do souboje na pistole. Předem tušil, jak to dopadne. Proto celou noc sepisoval nástin svých myšlenek. Prokázal, že obecná rovnice pátého a vyššího stupně není algebraickým vzorcem řešitelná a jako neuvěřitelný vedlejší produkt přitom založil celé nové odvětví matematiky, teorii grup. Pak šel, dostal kulku do břicha a druhého dne zemřel. Bylo mu jednadvacet let. Vypadá to jako osud, který by si zvolil jeho současník Karel Hynek Mácha, kdyby byl matematikem.

Galois pocházel z dobré a celkem zámožné rodiny. Ve dvanácti letech byl přijat na prestižní pařížské lyceum. Tam se brzy projevila jeho jednostrannost: velký zájem o matematiku a talent pro ni spolu s ignorováním většiny ostatních předmětů. Měl štěstí na dobré učitele, škola však netolerovala jeho jednostrannost, a tak začaly konflikty. Už rok před dokončením lycea se Galois přihlásil k přijímacím zkouškám na École polytechnique, tehdy možná nejlepší technickou vysokou školu světa. Kdyby je udělal, odvíjel by se jeho život jinak, bohužel však propadl – u zkoušek všeho druhu se nehodnotí genialita, ale znalosti.

Tou dobou se už zabýval rovnicí pátého stupně. Nejprve se pokusil o nalezení obecného vzorce, stejně jako všichni před ním – a na nějakou dobu věřil, že uspěl. Pak našel chybu. To mu bylo sedmnáct, psal se rok 1828 a již celých pět let existoval důkaz, že rovnici pátého stupně algebraickým vzorcem řešit nelze. Jenže o něm skoro nikdo nevěděl, rozhodně ne Galois.

Důkaz sestavil jiný geniální mladík, Nor jménem Niels Henrik Abel. Na rozdíl od Galoise byl chudý jako kostelní myš, protloukal se velice obtížně a byl společenským outsiderem. Stejně jako Galoisovi nebylo ani jemu souzeno dožít se vysokého věku. A stejně jako Galois, ani Abel nedošel žádného uznání zaživa. Svého důkazu si cenil do té míry, že sepsal příslušný článek francouzsky, což byl tehdy mezinárodní jazyk vědy (němčina zaujala toto místo až později), ale nebylo to nic platné. Nepřečetli si to ani profesionálové, ani teenager Évariste Galois. Ten se proto marně namáhal hledáním vzorce, jenž nemohl existovat.

Neviditelná symetrie

Marně, ale ne zbytečně. Díky tomu, že si na problému odpracoval svoje, získal Galois vhled a cit pro úlohu. Co následovalo, byl úžasný převrat: skok od tradiční algebry k moderní, od počítání k popisu skrytých struktur.

Galois si představil, že kořeny kvintické rovnice už zná, a zkusil popsat, jaké vztahy mezi nimi musí platit. Abel o pár let dřív uvažoval stejně a vytěžil z toho svůj důkaz, Galois ale pokračoval po téže cestě dál. Ve vazbách mezi kořeny kvintické rovnice uviděl hlubší zákonitost.

Jde o tohle:

Tento článek je exkluzivní obsah pro předplatitele Deníku N.

V tomto okamžiku nejčtenější