Deník N

Nejsrozumitelnější ze všech matematických záhad. Přesto nevyřešená

Na vodorovné ose je výchozí číslo, na svislé délka řady generované Collatzovým algoritmem. Náhodně to tedy nevypadá! Obr: Wikimedia
Na vodorovné ose je výchozí číslo, na svislé délka řady generované Collatzovým algoritmem. Náhodně to tedy nevypadá! Obr: Wikimedia
Deník N zajišťuje fotografie za podpory Megapixel.cz.

Ty partie matematiky, kde dochází ke skutečnému vědeckému pokroku, jsou dnes mimo dosah vzdělaného laika. Dvojnásob to platí o nerozřešených problémech, o záhadách, které vzdorují rozlousknutí. Přesto existuje jedna, se kterou se matematici neúspěšně perou bezmála sto let, ačkoli ji pochopí i žák druhé třídy.

Říká se jí Collatzova domněnka a spočívá v tomhle: myslete si nějaké celé kladné číslo. Jestli je sudé, vydělte ho dvěma. Jestli je liché, vynásobte ho třemi a přičtěte jedničku. Opakujte tento postup pořád dokola. Zapisujte výsledky. Když narazíte na jedničku, skončete.

Začneme třeba čtyřkou. Je sudá, dělíme tedy dvěma a dostaneme číslo 2. To je také sudé, dělíme dvěma, dostaneme jedničku a tím výpočet končí. S pětkou to bude trochu jinak: je lichá, násobíme ji tedy třemi a pak přičteme jedničku. Pětkrát tři je patnáct, plus jedna je šestnáct. Šestnáctku dělíme dvěma, dostaneme osmičku, z osmičky čtyřku a tak dále. Spočítali jsme si tedy řadu mezivýsledků pro čtyřku (4, 2, 1) a pro pětku (5, 16, 8, 4, 2, 1). Stejně lze postupovat pro jakékoli výchozí číslo. Třeba: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71… ouvej. To by bylo dlouhé. Řada mezivýsledků pro výchozí číslo 27 má 111 členů (a největším z mezivýsledků je číslo 9232, řada tedy vyletí hodně nahoru), ale stejně jako ty dvě předchozí skončí jedničkou.

Zatím se nikomu nepodařilo najít číslo, se kterým by to bylo jinak. Některé řady mezivýsledků jsou strašlivě dlouhé, ale všechny jsou konečné, zastaví se na čísle jedna. (Přesněji řečeno, na čísle jedna se výpočet zacyklí, protože se začne stále opakovat posloupnost 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1…)

Německý matematik Lothar Collatz publikoval roku 1937 odhad, že popsaný výpočet se zastaví v konečném počtu kroků pro jakékoli výchozí číslo. Zůstává dodnes domněnkou – nebyl exaktně dokázán. A není jasné, zda se to vůbec někdy povede. Paul Erdős k tomu podotkl, že matematika možná ještě není dost vyspělá pro řešení podobných úloh. A nabídl 500 dolarů za vyřešení, přičemž – jak nedávno kdosi správně zdůraznil v diskusi na Quoře – není důležitá částka, ale to, kdo ji nabídl. Erdős možná byl, možná nebyl největším matematikem dvacátého století, ale rozhodně patřil k nejtvořivějším a nejvíc myšlenkově otevřeným mezi těmi, kdo se matematikou zabývali kdykoli, po celé dějiny lidstva. Věci jako Collatzova domněnka ho mocně přitahovaly. Když nad ní vyslovil tak hlubokou rezignaci, musel k tomu

Tento článek je exkluzivní obsah pro předplatitele Deníku N.

Matematika

V tomto okamžiku nejčtenější